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单摆运动―相图

单摆运动—相图 张光彪 由牛顿第二定律： 非线性方程 式中角频率： 线性化处理 忽略3次以上的高次项 得线性方程 降阶 差分化 差别很大！！！ 差别很大！！！ 同时显示坐标和动量(速度) 差分化 误差 四阶Runge–Kutta方法 Runge–Kutta method 一、单摆运动非线性方程 二、扰动的单摆 庞加莱截面与庞加莱映射 相图可把非线性系统的状态形象地描绘出来，但是随阻尼力与驱动力的加入，其相图也会变得越来越复杂。 庞加莱在相空间里取一常数坐标截面，称为庞加莱截面，研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。 在n 维相空间里取一个n-1维面。相轨线通过截面时留下点的一幅图象反映了轨线运行情况。 人们将时间上的连续运动转变为 离散的图象处理方法称为庞加莱 映射。 四、扰动的单摆—庞加莱截面 龙格库塔算法 小论文题目 台球问题 三体问题 * * * * 单摆 数学表达式 数学表达式 单摆 数学表达式 单摆 数学表达式 单摆 数学表达式 单摆 这就是相图 数学表达式 改进算法 单摆 初始值： 初始值： 三.庞加莱映射 单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。 三.庞加莱映射 庞加莱截面与轨线运动 三.庞加莱映射 庞加莱截面与轨线运动 单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。 两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点； 四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点; 无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。 单摆的三维相空间 三.庞加莱映射 阻尼单摆的运动方程 可化成三个方程： 用三个变量q, j, w 组成三维相空间 相角j有周期性，把2 np 和2(n+1)p 平面连接起来，相空间扩展为圆环。 原来园形轨线成了在圆环面的环线。 取某常数位相，即在该位相处截取一 平面，环线在穿过时留下了一个点。 它的相图有一个奇怪吸引子(无周期运动)。相轨线绕着该吸引子一圈又一圈地不仃地转动，结果相空间的轨线越来越复杂。图中那一团相轨线就是在绕了1000圈后在该吸引子附近的形状。 右下角是庞加莱截面图，图形不仅简单得多，而且显示出某种结构。由庞加莱截面图可见，转子的相轨线尽管极其复杂，但它不是毫无规律的，而是具有某种内在的规律性在内。 受驱转子运动 三.庞加莱映射 * *